Desigualdades

Una condición en $x$ es una expresión que contiene la variable $x$ y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye $x$ por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

  • Si $x<y$ entonces $x+z<y+z$ para todo número real $z$.

  • Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ y MATH.
  • Si $x<y$ y $z<0$ entonces $xz>yz$ y MATH.

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
MATH
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH, que se muestra en la figura siguiente


Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
MATH
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
MATH
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a
MATH
El producto $(x-7)(x-3)$ puede cambiar de signo solo en $7$ o en $-3$, que son los puntos donde $x-7=0$ o $x-3=0$. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos
MATH
En cada uno de estos intervalos $(x-7)(x-3)$ conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos $x=0$ en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de $(x-7)$ y $(x-3)$ son ambos negativos y por lo tanto $(x-7)(x-3)>0$ en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente


Intervalo $(-\infty ,3)$ $(3,7)$ $(7,\infty )$
Signo de $(x-7)$ $-$ $-$ $+$
Signo de $(x-3)$ $-$ $+$ $+$
Signo de $(x-7)(x-3)$ $+$ $-$ $+$

donde el signo $(x-7)(x-3)$ se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es MATH.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.


En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
MATH
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones $2x+3=0$, $4-x=0$ y $x+5=0$. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$, $4$ y $-5$.
Tenemos el siguiente diagrama


Analizando el signo resultante, es decir el signo de $(2x+3)(4-x)(x+5)$, vemos que la solución de la desigualdad dada es MATH.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos


Por lo tanto la solución de la desigualdad es MATH.

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