Número real

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Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra \mathbb{R}. El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa.
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.
La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales.

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Notación [editar]

Los números reales miden cantidades contínuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "\sqrt{2}") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo \mathbb R (o, de otra forma, \mathbf{R}, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.
La notación matemática \mathbb R^n se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor \mathbb R^3 consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Historia [editar]

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 adC; alrededor del 500 adC el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes.
En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teorías en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos.

Construcciones de los números reales [editar]

Construcción axiomática [editar]

El conjunto de números reales, denotado por \mathbb{R} es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las siguientes proposiciones:

  1. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y\in\mathbb{R} (Cerradura en la suma)
  2. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y=y+x\, (Conmutatividad en la suma)
  3. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (x+y)+z=x+(y+z)\, (Asociatividad en la suma)
  4. Existe 0\in\mathbb{R} de manera que x+0=x\, para cualquier x\in\mathbb{R} (Neutro aditivo)
  5. Para cada x\in\mathbb{R} existe un elemento -x\in\mathbb{R} tal que -x+x=0\, (Inverso aditivo)
  6. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy\in\mathbb{R} (Cerradura en la multiplicación)
  7. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy=yx\, (Conmutatividad en la multiplicación)
  8. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (xy)z=x(yz)\, (Asociatividad en la multiplicación)
  9. Existe 1\in\mathbb{R} de manera que x1=x\, para cualquier x\in\mathbb{R} (Neutro multiplicativo)
  10. Para cada x\in\mathbb{R} existe un elemento x^{-1}\in\mathbb{R} tal que x^{-1}x=1\, (Inverso multiplicativo)
  11. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces x(y+z)=xy+xz\, (Distributividad de la multiplicación en la suma)
  12. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
    • x<y\,
    • y<x\,
    • x=y\,
  13. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y y<z\, entonces x<z\, (Transitividad)
  14. Si x,y,z\in\mathbb{R} y x<y\,, entonces x+z<y+z\, (Monotonía en la suma)
  15. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y 0<z \,, entonces xz<yz\, (Monotonía en la multiplicación)
  16. Si E \subset \mathbb{R} es un conjunto acotado superiormente en \mathbb{R} , entonces E \, tiene supremo en \mathbb{R} (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue \mathbb{R} de otros cuerpos ordenados como \mathbb{Q}.

Construcción por números decimales [editar]

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que \pi=3.1415926535897932384626\dots, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como x.d_1d_2d_3d_4\dots donde x es un número entero y cada di es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por \mathbb{R}^+ y se le llama el conjunto de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por \mathbb{R}^- y se le llama el conjunto de los números reales negativos.
Al número decimal 0.00000\dots se le llama cero.
Al conjunto \mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0.00000\dots\} se le denota por \mathbb{R} y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como

  1. 0>x\, para todo x\in\mathbb{R}^-
  2. x>y\, siempre que x\in\mathbb{R}^+ y y\in\mathbb{R}^-
  3. x>0\, para todo x\in\mathbb{R}^+
  4. Dados dos números reales cualesquiera x=a.a_1a_2a_3a_4\dots y y=b.b_1b_2b_3b_4\dots, x>y\, en cualquiera de los casos siguientes:
    • a>b\,
    • a=b\, y además existe n\in\mathbb{N} tal que a_i=b_i\, para todo 1\leq i<n y a_n > b_n\,

Cortaduras de Dedekind [editar]

Artículo principal: Cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de \sqrt 2. Sin embargo es claro que se puede aproximar \sqrt 2 con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos A y B de manera que en el conjunto A se encuentran todos los números racionales x < \sqrt 2 y en B todos los números racionales tales que x > \sqrt 2.
Una cortadura de dedekind es un par ordenado (A,B) que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre A y B. De esta manera es posible definir a \sqrt 2 como (A,B) tal que A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} y B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}.
Es posible demostrar que B queda unívocamente definido por A, de esta manera la cortadura (A,B) se reduce simplemente a A.
También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera \mathbb{R} es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.

Sucesiones de Cauchy [editar]

Artículo principal: Sucesión de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la ecuación

\sum_{n=0}^{\infty }{{{4(-1)^n}\over{2n+1}}}=\frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \dots = \pi

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales {{4(-1)^n}\over{2\,n+1}}, sin embargo el resultado final es el número irracional \pi\,. Es evidente que cada vez que se efectúa una suma, la ecuación se aproxima más y más a \pi\,.
Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de números racionales es una función x:\mathbb N\rightarrow\mathbb Q. Cada x(i) se denota simplemente por xi.
Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales que para todo \epsilon\in\mathbb Q^+ existe un n_0\in\mathbb N tal que para todo m,n\geq0 se cumple |x_m-x_n|<\epsilon\,.
De esta manera es posible definir al número real π como la sucesión de números racionales

x_i=\sum_{n=0}^i{{4(-1)^n}\over{2n+1}}