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desigualdades

Desigualdades

Una condición en $x$ es una expresión que contiene la variable $x$ y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye $x$ por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

  • Si $x<y$ entonces $x+z<y+z$ para todo número real $z$.

  • Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ y MATH.
  • Si $x<y$ y $z<0$ entonces $xz>yz$ y MATH.

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
MATH
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH, que se muestra en la figura siguiente


Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
MATH
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
MATH
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a
MATH
El producto $(x-7)(x-3)$ puede cambiar de signo solo en $7$ o en $-3$, que son los puntos donde $x-7=0$ o $x-3=0$. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos
MATH
En cada uno de estos intervalos $(x-7)(x-3)$ conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos $x=0$ en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de $(x-7)$ y $(x-3)$ son ambos negativos y por lo tanto $(x-7)(x-3)>0$ en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente


Intervalo $(-\infty ,3)$ $(3,7)$ $(7,\infty )$
Signo de $(x-7)$ $-$ $-$ $+$
Signo de $(x-3)$ $-$ $+$ $+$
Signo de $(x-7)(x-3)$ $+$ $-$ $+$

donde el signo $(x-7)(x-3)$ se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es MATH.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.


En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
MATH
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones $2x+3=0$, $4-x=0$ y $x+5=0$. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$, $4$ y $-5$.
Tenemos el siguiente diagrama


Analizando el signo resultante, es decir el signo de $(2x+3)(4-x)(x+5)$, vemos que la solución de la desigualdad dada es MATH.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos


Por lo tanto la solución de la desigualdad es MATH.

__

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Desigualdades Cuadráticas

19/10/07 · 3 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

desigualdades

Desigualdades

Una condición en $x$ es una expresión que contiene la variable $x$ y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye $x$ por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

  • Si $x<y$ entonces $x+z<y+z$ para todo número real $z$.

  • Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ y MATH.
  • Si $x<y$ y $z<0$ entonces $xz>yz$ y MATH.

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
MATH
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH, que se muestra en la figura siguiente


Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
MATH
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
MATH
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a
MATH
El producto $(x-7)(x-3)$ puede cambiar de signo solo en $7$ o en $-3$, que son los puntos donde $x-7=0$ o $x-3=0$. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos
MATH
En cada uno de estos intervalos $(x-7)(x-3)$ conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos $x=0$ en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de $(x-7)$ y $(x-3)$ son ambos negativos y por lo tanto $(x-7)(x-3)>0$ en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente


Intervalo $(-\infty ,3)$ $(3,7)$ $(7,\infty )$
Signo de $(x-7)$ $-$ $-$ $+$
Signo de $(x-3)$ $-$ $+$ $+$
Signo de $(x-7)(x-3)$ $+$ $-$ $+$

donde el signo $(x-7)(x-3)$ se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es MATH.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.


En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
MATH
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones $2x+3=0$, $4-x=0$ y $x+5=0$. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$, $4$ y $-5$.
Tenemos el siguiente diagrama


Analizando el signo resultante, es decir el signo de $(2x+3)(4-x)(x+5)$, vemos que la solución de la desigualdad dada es MATH.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos


Por lo tanto la solución de la desigualdad es MATH.

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Desigualdades Cuadráticas

19/10/07 · 9 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

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Desigualdades

Una condición en $x$ es una expresión que contiene la variable $x$ y se transforma en una proposición matemática, es decir en una afirmación que es verdadera o falsa, cuando se sustituye $x$ por un elemento del dominio en consideración, en nuestro caso por un número real.
El conjunto de elementos del dominio que hacen de la condición una proposición verdadera, se llama el conjunto solución de la condición.
La mayoría de las condiciones que se presentan en matemáticas tienen la forma de una ecuación o de una desigualdad. En esta sección estudiaremos algunas desigualdades y sus soluciones.
Resolver una desigualdad es encontrar su conjunto solución, es decir encontrar todos los números reales que la hacen verdadera. El procedimiento para resolver desigualdades consiste en transformarlas en desigualdades equivalentes, es decir desigualdades que tienen las mismas soluciones, hasta que el conjunto solución sea obvio. Las herramientas para este trabajo son las propiedades del orden entre los números reales estudiadas en la sección 1.4.. Por su uso tan frecuente nos permitimos recordar las siguientes:

  • Si $x<y$ entonces $x+z<y+z$ para todo número real $z$.

  • Si $x<y$ y $z>0$ entonces $xz<yz$ y MATH.
  • Si $x<y$ y $z<0$ entonces $xz>yz$ y MATH.

Ejemplo 2.41. Resolvamos la desigualdad
MATH
Las siguientes desigualdades son equivalentes:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH, que se muestra en la figura siguiente


Ejemplo 2.42. Resolvamos la desigualdad
MATH
Aunque la desigualdad dada es equivalente a las dos desigualdades
MATH
las podemos resolver simultáneamente de la siguiente forma:
MATH
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo MATH.
Ejemplo 2.43.
Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a
MATH
El producto $(x-7)(x-3)$ puede cambiar de signo solo en $7$ o en $-3$, que son los puntos donde $x-7=0$ o $x-3=0$. Estos puntos los podemos llamar puntos de separación y nos dividen la recta en tres intervalos
MATH
En cada uno de estos intervalos $(x-7)(x-3)$ conserva el signo, es decir, siempre es positivo o siempre es negativo. Para determinar el signo en cada intervalo usamos un punto de prueba, elegido dentro del intervalo. Por ejemplo si tomamos $x=0$ en el intervalo $(-\infty ,3)$ los valores de $(x-7)$ y $(x-3)$ son ambos negativos y por lo tanto $(x-7)(x-3)>0$ en este intervalo. Similarmente se procede con los otros intervalos. Los resultados se pueden expresar en una tabla de signos como la siguiente


Intervalo $(-\infty ,3)$ $(3,7)$ $(7,\infty )$
Signo de $(x-7)$ $-$ $-$ $+$
Signo de $(x-3)$ $-$ $+$ $+$
Signo de $(x-7)(x-3)$ $+$ $-$ $+$

donde el signo $(x-7)(x-3)$ se obtiene aplicando las reglas de los signos.
Por lo tanto, vemos que la solución de la desigualdad es MATH.
Una manera mas práctica de resolver esta desigualdad es elaborando un diagrama de signos, como se muestra a continuación.


En el diagrama, las líneas verticales corresponden a los puntos de separación y la recta horizontal es la recta real.
Ejemplo 2.44. Resolvamos la desigualdad
MATH
Elaboramos un diagrama de signos. Primero obtenemos los puntos de separación resolviendo las ecuaciones $2x+3=0$, $4-x=0$ y $x+5=0$. Los puntos de separación son $-\dfrac{3}{2}$, $4$ y $-5$.
Tenemos el siguiente diagrama


Analizando el signo resultante, es decir el signo de $(2x+3)(4-x)(x+5)$, vemos que la solución de la desigualdad dada es MATH.
Ejemplo 2.45. Resolvamos la desigualdad
MATH
La desigualdad es equivalente a cada una de las siguientes
MATH
Elaborando el diagrama de signos tenemos


Por lo tanto la solución de la desigualdad es MATH.

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Desigualdades Cuadráticas

19/10/07 · 7 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

expresiones algebraicas

Expresiones algebraicas

Las expresiones que son combinaciones de operaciones entre números expresados en letras y cifras, se llaman expresiones algebraicas.

–2/5 mn3

Monomios
Las expresiones algebraicas en la que no intervienen la suma ni la resta se llaman
monomios

- 1/2 x5

Monomios semejantes: si dos o más monomios tienen la misma parte literal,se dicen semejantes

3a5b ;– 1/2 a5b; a5b

Polinomios
Son aquellas expresiones algebraicas en que intervienen la suma y la resta

5x3y2- 2a4+ 1/2b

Grado de un monomio: es el número de factores literales que en él figuran,y se calcula sumando los exponentes de todas sus letras.

2a3b2c

El monomio 2 a3b2c es de sexto grado,puesto que en él,figuran 3 factores a, dos factores b y un factor c. Este número 6 puede obtenerse sumando los exponentes 3+ 2 + 1 = 6.
Grado de un polinomio: Es el término de más alto grado.

1/2x2 +3a2x - 0,2a4 + ax
Es de cuarto grado, pues el término de mayor grado, - 0,2a4 es de cuarto grado.
Polinomios homogéneos: cuando todos sus términos son del mismo grado.
3a2b - 1/5 xz2 + 2b2

Todos sus términos son de segundo grado.
Polinomios ordenados: un polinomio se dice ordenado,con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras,cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia menor o igual que en el término anterior.
1/2a4z - 5a3 + 2/3a2z5 - a
Está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de a
x7 + 4x6- x5 +2x3 - 1/2

Está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de x
Polinomio completo: cuando figuran todas las potencias de la letra
1/3y4 + 5y3 - 1/2 y2 + 4 y + 1/7
Polinomio incompleto: no figuran todas las potencias de la letra y es necesario completarlo.
1/3x4 + 2x - 1
es necesario agregar los términos 0x3 y 0x2,luego el polinomio completo es:
1/3x4 + 0x3 + 0x2 + 2x - 1
Valor numérico de una expresión algebraica para valores particulares de sus letras.
m : - 2
x : 3
5m2x3
5.( - 2)2.( 3 )3
- 10 . 27 = - 270
Función polinómica: cuando la relación que expresa la función es un polinomio.
y = 2x2 - 3x + 1
y = 3x4 - 2x3 + x2 - 1/5x +4

Adición de expresiones algebraicas

  • Adición de monomios semejantes

Sumar los siguientes monomios

- 2a3x; 1/5a3x; a3x
- 2a3x + 1/5a3x + a3x = sacando factor común a3x
a3x ( -2 + 1/5 +1 ) = - 4/5
por lo tanto el resultado es = -4/5a3x
Adición de monomios no semejantes
Se realiza una reducción de términos
a2 + 1 - 2xy - 3a2 + xy - 2a2
( a2 - 3a2 - 2a2 )= - 4a2
- 2xy + xy = -1 xy
Reemplazando los términos semejantes:
- 4a2 -1 xy + 1
Adición de polinomios
(2x3 + - 5x + 3) + ( 6x3 + 4x2 + 8x - 4) =

2x3 + 0x2 - 5x + 3
6x3 + 4x2 + 8x - 4
8x3 + 4 x2 + 3 x - 1

Regla: Para sumar varios polinomios, se coloca uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en columnas.
Se hace la suma parcial de cada columna y se escriben los resultados parciales uno a continuación del otro.

Sustracción de polinomios
(2x3 + - 5x + 3) - ( 6x3 + 4x2 + 8x - 4) =

2x3 + 0x2 - 5x + 3
- 6x3 - 4x2 - 8x + 4
- 4x3 - 4x2 - 13x + 7

Regla:Para restar dos expresiones algebraicas se suma el minuendo al sustraendo con sus términos cambiados de signo.

Multiplicación de monomios
(2a2x) . (- 6a3b2) . ( -1/2 abx2) =
2 . - 6 . - 1/2 =12/2 = 6
a2 . a3 . a = a6 ( producto de igual base)
x . x2 = x3
b2 . b = b3

= 6 a6x3b3

Regla: Para hallar el producto de dos o más monomios se multiplica cada uno de los coeficientes, se multiplica la parte literal aplicando el producto de igual base ( se suman los exponentes) y se aplica la regla de los signos.
Multiplicación de polinomios
2a 2- 3ab + 5b2
2ab
4 a3b - 6 a2b2 + 10 a b3

2a 2- 3ab + 5b2
2a - b
4 a3 - 6 a 2b + 10 a b2
- 2 a 2b + 3 a b2 - 5 b3
4 a3 - 8 a 2b + 13 a b2 - 5 b3
Regla: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y se suman los productos parciales.
División de monomios
- 4x3 y 5: - 2 x2 y =
- 4 : - 2 = 2
x3 : x2 = x ( división de igual base)
y 5: y = y4

= - 4 x y4

Regla: Para hallar el cociente de dos o más monomios se divide cada uno de los coeficientes, se divide la parte literal aplicando el cociente de igual base ( se restan los exponentes) y se aplica la regla de los signos.
División de un polinomio por un monomio
(5 m4n x4 + 2/3 m3x y) : 2 m3x =
Propiedad distributiva
5 m4n x4 : 2 m3x = 5/2 m n x3
2/3 m3x y : 2 m3x =1/3 y

= 5/2m n x3 + 1/3 y

Regla: Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada término del polinomio dividendo por el monomio divisor y se suman los cocientes parciales.
División de polinomios
6x3 - x2 + 4x - 1 ⁄2x2 - x + 2
-6x3 + 3x2 - 6x3x + 1
0 +2 x2 - 2x - 1
-2 x2 + x - 2
0 - x - 3
Cociente: 3x +1
Resto: -x -3
Regla: Se ordenan los polinomios según la potencias decrecientes de una misma letra, se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. Se multiplica este término por todo el divisor, y este producto se resta del dividendo, obteniéndose el primer resto parcial. Se repiten las operaciones anteriores comenzando por dividir el primer término del resto por el primer término del divisor. Y así se sigue hasta llegar a un resto de grado menor que el divisor.
Regla de Ruffini
El cociente de un polinomio completo en x por un binomio de la forma (x ± a) es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al del dividendo y cuyos coeficientes, una vez ordenado el dividendo de acuerdo a las potencias decrecientes de x, se obtienen así:
El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; el segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número "a" cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo; el tercer coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número "a" cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del tercer término del dividendo, y así siguiendo para los restantes.
El resto se obtiene multiplicando el último coeficiente del cociente por "a" cambiado de signo y sumando a este producto el término independiente del dividendo.
(4 x5 - 7x 3- 3) : ( x +2) =
1) Completar
x5 + 0x4 - 7x3 + 0x2+ 0x - 3
2)
(x ± a) = ( x + 2)
Cambiar el signo del término" a "( +2)
- 2

4 0 -7 0 0 -3
- 2 -8 16 -18 36 -72
4 -8 9 -18 36 -75

3)
Se baja un exponente de la parte literal
4x4 - 8x3 + 9x2 - 18x - 36
Resto: -75
Teorema del resto
Se reemplaza la x del la expresión albegraica por el número del divisor ( x + 2), se cambia el signo del número en este caso -2
(4 x5 - 7x 3- 3) : ( x +2) =
4 x5 - 7x 3- 3 =
4 (-2) 5 - 7(-2)3- 3 =
4 . (-32) - 7 . (-8) - 3 =
- 128 + 56 - 3 = - 75
Ejercicios →
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07/09/07 · 8 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

traduciendo expresiones algebraicas

TRADUCIENDO EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PALABRAS CLAVES


Adición
(+)		 Sustracción
( - )		 Multiplicación
( · )		 División
(÷ )
suma
añadir
más
aumentado por
más que		 resta
diferencia
menos
menor que
disminuido por
quitado de		 multiplicar
producto
veces
de		 dividir
dividido por
cociente


Una cantidad desconocida se puede representar con alguna letra llamada variable.
Ejemplo: Traducir cada frase usando símbolos.
Frase En símbolos a. La suma de 2 y un número. 2 + d ( la "d" representa la cantidad desconocida) b. 3 más que un número x + 3 c. La diferencia entre un número y 5 a - 5 d. 4 menos que n 4 - n e. Un número aumentado en 1 k + 1 f. Un número disminuido en 10 z - 10 g. El producto de dos números a · b h. Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b) i. Dos veces un número sumado a otro 2a + b j. Cinco veces un número 5x k. El cociente de dos números a
b
Ejercicios: A. Traduce usando símbolos: 1. La suma de dos números ____________________ 2. 10 más que n ____________________ 3. Un número aumentado en 3 ____________________ 4. Un número disminuido en 2 ____________________ 5. El producto de p y q ____________________ 6. Uno restado a un número ____________________ 7. 3 veces la diferencia de dos números ____________________ 8. 10 más que 3 veces un número ____________________ 9. La diferencia de dos números ____________________

B. Escribe usando símbolos y simplifica el resultado: 1. La suma de 24 y 19 ___________________________ 2. 19 más que 33 ___________________________ 3. Dos veces la diferencia de 9 y 4 ____________________________ 4. El producto de 6 y 16 ___________________________ 5. 3 veces la diferencia de 27 y 21 ____________________________ 6. La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al
cuadrado _____________________________ 7. El cociente de 3 al cubo y 9 _____________________________ 8. 12 al cuadrado dividido por el
producto de 8 y 12 ______________________________

C. Resuelve: Un empleado A se toma 5 veces más tiempo en hacer una tarea que un empleado B. So t representa el tiempo que le toma a B en hacer la tarea, entonces 5t representa el tiempo que le toma a A. ¿Cuánto le tomará a A si B se toma 30 segundos? _________________________

Soluciones: A.
1. x + y
2. 8 + p
3. x + 4
4. d - 5
5. r · s
6. y - 1
7. 3 (a - b)
8. 10 + 3b
9. d - e
B.
1. 14 + 16 = 30
2. 20 + 43 = 63
3. 2 (4-2) = 2(2) = 4
4. 6 · 12 = 72
5. 3 ( 40 - 18) = 3 (22) = 66
6. 52 - 42 = 25 - 16 = 9
7. 33 = 27 = 9
3 3
8. 62 = 36 = 4
(3·3) 9

C. Empleado A: 5t
Empleado B: t Empleado se toma 30 segundos; entonces t = 30
5(30) = 150 segundos = 2 minutos y medio

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Ultima Edición: Febrero 13, 2001

07/09/07 · 1 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

nuemeros reales

Número real

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra \mathbb{R}. El nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y viceversa.
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.
La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales.

Tabla de contenidos

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Notación [editar]

Los números reales miden cantidades contínuas que se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo, "\sqrt{2}") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo \mathbb R (o, de otra forma, \mathbf{R}, la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de todos los números reales.
La notación matemática \mathbb R^n se refiere a un espacio de n dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor \mathbb R^3 consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.

Historia [editar]

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 adC; alrededor del 500 adC el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes.
En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teorías en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos.

Construcciones de los números reales [editar]

Construcción axiomática [editar]

El conjunto de números reales, denotado por \mathbb{R} es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las siguientes proposiciones:

  1. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y\in\mathbb{R} (Cerradura en la suma)
  2. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces x+y=y+x\, (Conmutatividad en la suma)
  3. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (x+y)+z=x+(y+z)\, (Asociatividad en la suma)
  4. Existe 0\in\mathbb{R} de manera que x+0=x\, para cualquier x\in\mathbb{R} (Neutro aditivo)
  5. Para cada x\in\mathbb{R} existe un elemento -x\in\mathbb{R} tal que -x+x=0\, (Inverso aditivo)
  6. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy\in\mathbb{R} (Cerradura en la multiplicación)
  7. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces xy=yx\, (Conmutatividad en la multiplicación)
  8. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces (xy)z=x(yz)\, (Asociatividad en la multiplicación)
  9. Existe 1\in\mathbb{R} de manera que x1=x\, para cualquier x\in\mathbb{R} (Neutro multiplicativo)
  10. Para cada x\in\mathbb{R} existe un elemento x^{-1}\in\mathbb{R} tal que x^{-1}x=1\, (Inverso multiplicativo)
  11. Si x,y,z\in\mathbb{R}, entonces x(y+z)=xy+xz\, (Distributividad de la multiplicación en la suma)
  12. Si x,y\in\mathbb{R}, entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
    • x<y\,
    • y<x\,
    • x=y\,
  13. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y y<z\, entonces x<z\, (Transitividad)
  14. Si x,y,z\in\mathbb{R} y x<y\,, entonces x+z<y+z\, (Monotonía en la suma)
  15. Si x,y,z\in\mathbb{R}, x<y\, y 0<z \,, entonces xz<yz\, (Monotonía en la multiplicación)
  16. Si E \subset \mathbb{R} es un conjunto acotado superiormente en \mathbb{R} , entonces E \, tiene supremo en \mathbb{R} (Axioma del supremo)

Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que distingue \mathbb{R} de otros cuerpos ordenados como \mathbb{Q}.

Construcción por números decimales [editar]

Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que \pi=3.1415926535897932384626\dots, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como x.d_1d_2d_3d_4\dots donde x es un número entero y cada di es un elemento del conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero positivo se le denota por \mathbb{R}^+ y se le llama el conjunto de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde x es un número entero negativo se le denota por \mathbb{R}^- y se le llama el conjunto de los números reales negativos.
Al número decimal 0.00000\dots se le llama cero.
Al conjunto \mathbb{R}^+\cup\mathbb{R}^-\cup\{0.00000\dots\} se le denota por \mathbb{R} y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como

  1. 0>x\, para todo x\in\mathbb{R}^-
  2. x>y\, siempre que x\in\mathbb{R}^+ y y\in\mathbb{R}^-
  3. x>0\, para todo x\in\mathbb{R}^+
  4. Dados dos números reales cualesquiera x=a.a_1a_2a_3a_4\dots y y=b.b_1b_2b_3b_4\dots, x>y\, en cualquiera de los casos siguientes:
    • a>b\,
    • a=b\, y además existe n\in\mathbb{N} tal que a_i=b_i\, para todo 1\leq i<n y a_n > b_n\,

Cortaduras de Dedekind [editar]

Artículo principal: Cortaduras de Dedekind

Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de \sqrt 2. Sin embargo es claro que se puede aproximar \sqrt 2 con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los números racionales en dos subconjuntos A y B de manera que en el conjunto A se encuentran todos los números racionales x < \sqrt 2 y en B todos los números racionales tales que x > \sqrt 2.
Una cortadura de dedekind es un par ordenado (A,B) que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura es el "espacio" que hay entre A y B. De esta manera es posible definir a \sqrt 2 como (A,B) tal que A = \{x\in\mathbb{Q}:x^2<2\} y B=\{x\in\mathbb{Q}:x^2>2\}.
Es posible demostrar que B queda unívocamente definido por A, de esta manera la cortadura (A,B) se reduce simplemente a A.
También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de esta manera \mathbb{R} es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los números reales bajo la teoría de conjuntos.

Sucesiones de Cauchy [editar]

Artículo principal: Sucesión de Cauchy

Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por ejemplo, la ecuación

\sum_{n=0}^{\infty }{{{4(-1)^n}\over{2n+1}}}=\frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \dots = \pi

Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales {{4(-1)^n}\over{2\,n+1}}, sin embargo el resultado final es el número irracional \pi\,. Es evidente que cada vez que se efectúa una suma, la ecuación se aproxima más y más a \pi\,.
Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una sucesión de números racionales es una función x:\mathbb N\rightarrow\mathbb Q. Cada x(i) se denota simplemente por xi.
Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes. Más formalmente se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales que para todo \epsilon\in\mathbb Q^+ existe un n_0\in\mathbb N tal que para todo m,n\geq0 se cumple |x_m-x_n|<\epsilon\,.
De esta manera es posible definir al número real π como la sucesión de números racionales

x_i=\sum_{n=0}^i{{4(-1)^n}\over{2n+1}}

25/08/07 · 6 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·

proyectos para las tesis

. Introducción.Escribir una tesis parece una tarea larga y difícil. Es así, pues en verdad es larga y complicada. Afortunadamente, se sentirá usted mejor, una vez que tenga un par de capítulos escritos. Hacia el final, encontrará que lo disfruta. Es un goce basado en la satisfacción del deber cumplido, en el placer en haber aportado al conocimiento científico y, por supuesto, la inminencia de un final feliz.
Como muchas otras tareas, escribir una tesis normalmente parece terrorífico, así que permítame ayudarle en el cómo debe iniciar.
Esquematizando el trabajo.
Primero haga un esquema de su tesis: Escriba un bosquejo de los títulos de capítulos, subtítulos, algunos títulos de ilustraciones (para indicar donde van los resultados) y algunas otras notas. Debe haber un orden lógico en la presentación de los capítulos y un esquema tentativo final de la tesis, como resultado de esta tarea.
Una vez que tenga una lista de capítulos y, bajo cada título del capítulo, una lista completamente razonable de cosas que deben ser informadas o explicadas, usted habrá dado un golpe decisivo en contra del "bloqueo del escritor".
Habiéndose encontrado el orden más lógico al sumario, anote debajo de cada una, las palabras descriptoras surgidas de su imaginaria explicación. Éstas palabras claves proporcionan un punto de partida, para el bosquejo de su capítulo.
Una vez que tenga un esquema, debe discutirlo con su asesor (o asesora) de tesis. Haga de inmediato el primer contacto con su asesor, es importante porque:

    • Lo dispondrá desde ese momento para atender un flujo constante de borradores de capítulos que usted probablemente le presentará en desorden.

    • Le permitirá establecer una agenda para atender sus demandas, según sus propias disponibilidades de tiempo.

Una vez que usted y su asesor estén de acuerdo con una estructura lógica, él deberá tener una copia de referencia para cuando lea los capítulos que usted le presentará desordenados. Si tiene un co-asesor, discuta también el mismo boceto con él, y presente todos los capítulos a ambos asesores simultáneamente.
La Organización.
Alienta y es útil iniciar un sistema de archivo tanto físico (fichas y carpetas) como lógico (en computadora).
Con respecto al archivo físico: Papeles, manuscritos, recortes, fotografías, fotocopias, etc.; encarpételas y rotúlelas. Una carpeta por capítulo, asunto o tema de investigación. Otra para la correspondencia de correo (normal o electrónico). Esto le ayudará no solo a mantener limpio y ordenado su escritorio, sino el disponer de toda la información compilada "a mano".
Es absolutamente recomendable un archivador de carpetas (colgantes) y otro para las fichas (de escritura manual).
En cuanto al archivo lógico, abra un documento en su procesador de palabras para cada capítulo, uno para las referencias bibliográficas y otros adicionales. Mientras escribe algo en el Capítulo X, pensará quizá en una referencia o en una idea para discutir en el Capítulo Y. Anótela como recordatorio, ponga indicadores. Si en el futuro piensa en algo interesante o pertinente para tal capítulo, tales referencias y tales notas, le facilitarán la escritura.
En cada documento, ponga un pié de página que indique la versión (fecha, hora) del mismo, así como el número de página vigente en contraste con el total de ellas.
Respaldo de archivos.
Aplique los principios de la teoría de la confiabilidad, que impone la redundancia de la información (o de los componentes, físicos o lógicos, del objeto que se desea hacer confiable) a resguardar. Los archivos de su tesis deben ser salvados.
En 1er. lugar grabe manualmente (con el explorador) los archivos, duplicándolos (en otros directorios) en su propio disco duro. Puede usar la opción automática de Copia de Seguridad de su procesador de textos.
En 2do. lugar (¡hágalo siempre!), salve sus archivos de computadora en disquetes, como se indica a continuación:
Forme un primer juego de 3 disquetes, llámelos Abuelo, Padre e Hijo; rotúlelos A, B y C. Los roles cambian luego de cada operación de respaldo, quedando para la siguiente, el disquete más antiguo (identificado, previo a la operación, como el Abuelo).
Propóngase una frecuencia de respaldo en disquetes, (de toda la información) de una semana como máximo (diario al principio).
Forme un segundo juego de disquetes como se explicó. Luego intercambie este juego con el primero, con una frecuencia mensual de respaldos como máximo (semanal al principio).
Guarde el juego que no se utiliza en un edificio diferente del de trabajo habitual (protege de siniestros), envuelto con papel metalizado (protege del magnetismo) y todo dentro de una bolsa de polietileno (protege de la humedad).
Alternativamente, transferir sus respaldos a una máquina en una localización remota, a través de Internet o de un BBS (usando FTP, no el correo).
Otra manera de hacer un respaldo remoto, es enviarlo como un adjunto del correo electrónico a un corresponsal (podría ser Ud. mismo), si su servidor preserva su correo. En cualquier caso, debe eliminar las versiones antiguas que reemplazó, para conservar espacio de disco.
Quizá deba aplicarse los mismos conceptos del respaldo lógico al respaldo físico, fotocopiando, microfilmando, etc. los documentos importantes y depositándolos en otro lugar.
En la mayoría de las oficinas (y en los hogares también) existe un artefacto que nos permitiría obtener fotocopias (gratis) de cualquier tipo de documento en hoja suelta: El fax, aprovéchelo en su función de copiado.
En cumplimiento de la ética del investigador científico, es imperativo conservar libros y datos originales de las experiencias de laboratorio, por lo menos durante diez años.
La burocracia de la tesis.
Al mismo tiempo en que Ud. se encuentra abocado a la organización de su material, es necesario iniciar la tramitación burocrática de los formalismos administrativos y legales que exigen su tesis (llenar formularios).
Haga los trámites anticipando el tiempo necesario, debe asegurarse de que el ritmo de los avances de los trabajos de la tesis, estén marcados solo por los propios procesos científicos y nunca por problemas burocráticos secundarios.
Haga un calendario de trabajo.
Es necesaria una planificación temporal en detalle. Debe ser elaborado un cronograma estricto de trabajo, acordado con su asesor. Para aquellos que los conozcan, son de adecuada aplicación los métodos PERT y CPM.
Como quiera que sea capaz de hacer su calendario, debe indicar rígidos plazos con fechas para las cuales se propone el cumplimiento de etapas o de metas intermedias.
No se engañe a si mismo: Haga el cronograma de su puño y letra... luego ejecútelo. Prometa entregas con su asesor y luego ¡CÚMPLALAS

17/08/07 · 7 comentarios · Autor: ritoyamapuon ·
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